Page 31 - 4204

ЛЕКЦІЯ 3. ІНТЕРПОЛЯЦІЯ ФУНКЦІЙ

Запишемо многочлен у загальній формі

n
2
P ( x ) a  a 1 x  a 2 x ...  a n x . (3.2)
n
0
Оскільки степінь многочлена n – відомий, то задача зводить-

ся до знаходження його коефіцієнтів. Найпростіший шлях

розв’язку такої задачі – це використати умови (3.1) і скласти сис-

тему n 1 рівнянь з n 1 невідомими a , a ,..., a . Однак для ве-
n
1
0
ликих n отримаємо систему з великою кількості рівнянь і засто-

сування цього методу є неефективним. Тому для побудови P n (x )

1
часто використовують спосіб Лагранжа .

3.2. Інтерполяційний многочлен Лагранжа

Інтерполяційний многочлен L n (x ) шукаємо у вигляді лінійної

комбінації вагових функцій  i (x ) – многочленів степеня n

n
L (x )   y  (x )  y   (x )  y  (x )  ... y   (x ).
n i i 0 0 1 1 n n
i 0

І щоб виконувалися умови (3.1):

y  0 ( x ) y  1 ( x ...)  y  i ( x ...)  y  n ( x ) y ,
i
i
i
n
i
i
1
i
0
будемо, вимагати, щоб кожен многочлен  (x ) обертався в нуль в
i
усіх вузлах інтерполяції, за винятком одного і-го вузла, де він по-
винен дорівнювати одиниці. Таким чином, отримаємо
y 0  y 0 ...  y 1 ...  y 0  y .
n
1
i
0
i
Очевидно, що умови  k (x i )  0 (k  ) буде задовольняти
i
многочлен

1
Жозе́ ф-Луї́ Лаґра́ нж (фр. Joseph Louis Lagrange, *25 січня 1736, Турин — †10 квітня
1813, Париж) — французький математик, фізик і астроном італійського походження.

30