Page 34 - 4204

ЛЕКЦІЯ 3. ІНТЕРПОЛЯЦІЯ ФУНКЦІЙ

3.3. Розділені різниці функції

Нехай маємо функцію f(x) і не обов’язково рівновіддалені ву-

зли інтерполяції x , i  0 n .. .
i

Розділеними різницями 1-го порядку називають величини:

f   fx   x f   fx   
x
f  ;xx  1 0 ,  ;xxf  2 1 .
1
0
x  x 1 2 x  x
1 0 2 1
Очевидно, що ці величини можна розглядати як середні швидко-

сті зміни функції на відповідних інтервалах (наближені значення

1-х похідних).

Розділені різниці 2-го порядку визначаються через різниці

1-го порядку.

f  ;xx  f  ;xx  f  ;xx  f  ;xx 
f  ;xx ;x  1 2 0 1 ,  ;xxf ;x  2 3 1 2
0 1 2 1 2 3
x  x 0 x  x 1
2
3
(наближені значення 2-х похідних).

Аналогічно, розділена різниця k-го порядку визначається че-

рез розділені різниці k – 1-го порядку за рекурентною формулою:

f  ;xx ...x  f  ;xx ;...;x 
f  ;xx ;...;x  1 2 k 0 1 k 1
0 1 k
x  x 0
k
Розділені різниці зручно обчислювати та записувати у вигляді

таблиці

x i x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5

y i y 0 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5

f  ;xx 0 1   ;xxf 1 2   ;xxf 2 3   ;xxf 3 4   ;xxf 4 5 

f  ;xx 0 1 ;x 2   ;xxf 1 2 ;x 3   ;xxf 2 3 ;x 4   ;xxf 3 4 ;x 5 

f  ;xx 0 1 ;x 2 ;x 3   ;xxf 1 2 ;x 3 ;x 4   ;xxf 2 3 ;x 4 ;x 5 

33