Page 32 - 4204

ЛЕКЦІЯ 3. ІНТЕРПОЛЯЦІЯ ФУНКЦІЙ

n
p i (x )   (x  x k )  (x  x 0 )(x  x 1 )...(x  x i 1 )(x  x i 1 )...(x  x n ),
k , 0 k i

який не містить множника (x  x i ), а щоб виконувалася умова

 i (x i )  1, візьмемо

p (x ) (x  x )(x x )...(x  x )(x  x )...(x x )
 (x )  i = 0 1 i 1 i 1 n .
i
p i (x i ) (x  x 0 )(x  x 1 )...(x  x i 1 )(x  x i 1 )...(x  x n )
i
i
i
i
i
Таким чином,
n x (  x )( x  x )...( x  x )( x  x )...( x  x )
L ( x)  y 0 1  i 1  i 1 n , (3.3)
n  i x (  x )( x  x )...( x  x )( x  x )...( x  x )
 i 0 i 0 i 1 i  i 1 i  i 1 i n

або скорочено

n p ( x) n n n
L ( x)  y  i = y   x (  x /)  x (  x ).
n  i p ( x )  i k i k
 i 0 i i  i 0 k  k,0 i k  ,0 k i

Інтерполяційний многочлен, представлений у вигляді (3.3),

називають інтерполяційним многочленом Лагранжа, а вагові

функції  (x ) – лагранжевими коефіцієнтами.
i

Розглянемо часткові випадки:

Лінійна інтерполяція n  1 (інтерполюємо за двома точками)

x  x x  x
L 1 (x )  y 0 1  y 1 0
x  x 1 x  x 0
1
0
Квадратична інтерполяція n  2 (інтерполюємо за трьома точ-

ками)

(x  x )(x  x ) (x  x )(x  x ) (x  x )(x  x )
L (x )  y 1 2  y 0 2  y 0 1 .
2 0 1 2
(x  x )(x  x ) (x  x )(x  x ) (x  x )(x  x )
0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1
Приклад. Побудувати інтерполяційний многочлен Лагранжа таблич-

но заданої функції.

31