Page 33 - 4204

ЛЕКЦІЯ 3. ІНТЕРПОЛЯЦІЯ ФУНКЦІЙ

і 0 1 2 3

x i -2 -1 1 2

y i 13 6 4 21

Розв’язання: Оскільки маємо 4 точки, то запишемо інтерполяційний

многочлен Лагранжа 3-го порядку

(x  x )(x  x )(x  x ) (x  x )(x  x )(x  x )
L (x )  y 1 2 3  y 0 2 3 
3 0 1
(x 0  x 1 )(x 0  x 2 )(x 0  x 3 ) (x 1  x 0 )(x 1  x 2 )(x 1  x 3 )

(x  x )(x  x )(x  x ) (x  x )(x  x )(x  x )
 y 0 1 3  y 0 1 2 ,
2 3
(x  x )(x  x )(x  x ) (x  x )(x  x )(x  x )
2 0 2 1 2 3 3 0 3 1 3 2

або підставивши числа

(x  )(1 x  )(1 x  )2 (x  )(2 x  )(1 x  )2
L 3 (x ) 13  6 
( 2  )(1 2  )(1 2  )2 ( 1  )(2 1  )(1 1  )2

(x  2 )(x  1 )(x  ) 2 (x  2 )(x  1 )(x  ) 1
3
2
 4  21  1 2x  4x  x .
1 (  2 )( 1 1 )( 1 ) 2 2 (  2 )( 2  1 )( 2  ) 1
Інтерполяційна формула Лагранжа має два суттєвих недоліки:

1) формула громіздка – кожен доданок є многочленом n-го

степеня;

2) якщо з додавати нові вузли інтерполювання (наприклад,

якщо отримана інтерполяційна формула неточна), то всі обчис-

лення необхідно повторювати знову – жоден із доданків формули

Лагранжа не зберігається.

Розглянемо форму запису інтерполяційного полінома Р (х),
n
яка допускає уточнення результатів інтерполяції послідовним до-

даванням нових вузлів. При цьому будемо використовувати таке

поняття як розділені різниці функції.

32