Page 83 - 4195

 1 n 2  1  n 2 
1 M   MD в    x   x   M  x   x  

i
i
 n i 1  n i  1  
1   n 2  2 
  M  x  m    M  n x  m   


i
n  i  1   
1  n 
2
2
  M   x  m   n M   x  m   

i
n i  1  
1 n  1
 n 2   2   2 .
n n
  
Оскільки M D в 2 , то вибіркова дисперсія -
зсунута оцінка дисперсії генеральної сукупності. Однак її
 2
2
  
зміщення M D в   . зменшується із збільшен-
n
ням об’єму вибірки і при n  оцінка стає асимптоти-
чне незсунутою.
2 Визначимо обґрунтованість вибіркової дисперсії
за допомогою теореми.
Теорема. Якщо  M € n  та  D € n  при
€
n   , то  - обґрунтована оцінка .
n
Для знаходження дисперсії, вибіркової дисперсії
нам знадобиться наступна теорема вибіркової теорії, яка
2
пов’язана з розподілом  .
Теорема. Припустимо, що x 1 ,..., x - вибірка з нор-
n
€
2
мально розподіленої генеральної сукупності, а x та S -
вибіркова середня та оцінка дисперсії:
1 n 1 n 2
x   x i ; S 2 €   x i   x .
n i 1 n 1 i 1
n  1
2 €
 1
Тоді статистика S має розподіл  2 n 1 з n 
 2
- ступенями вільності.
83