Page 78 - 4195

Приклад 2.2 Для вибірки геофізичного поля
x ,..., x із генеральної сукупності з математичним спо-
1 n
2
діванням M  x  m та дисперсією D ( X )   знайти
точкову оцінку m € . Перевірити її незсунутість та обґрун-
тованість.
Розв’язання. Згідно методу аналогій за оцінку
€
 n  m € математичного сподівання необхідно взяти ма-
тематичне сподівання розподілу вибірки - вибіркову се-
редню:
1
m €  x   x
i
n i
Задану вибірку x 1 ,..., x можна розглядати, як одну
n
з реалізацій випадкового вектора ( X 1 ,..., X ), де X -
n
i
незалежні в сукупності випадкові величини, причому
M ( X i )  m та (D X i )   2 , i  1 ,..., n .
Згідно першої властивості оцінок необхідно знайти
математичне сподівання вибіркової середньої
1  1 1
M ( X )  M   X i    M ( X i )  n m  m .
 n i  n i n
Тобто, X - не зсунута оцінка m.
Згідно другої властивості оцінок
 1  1 1  2
D ( X )  D   X i    D ( X i )  n  2  ;
 n i  n 2 i n 2 n

 2
lim D ( X )  lim  . 0
n  n  n
Отже, вибіркова середня X є обґрунтованою оцін-
кою математичного сподівання m генеральної сукупнос-
ті.
Для оцінки параметру  може існувати декілька не
зсунутих оцінок. Тоді кращою буде оцінка з меншою
€
€
€
дисперсією: якщо D ( 1 )  D ( 2 ), то оцінка  більш
1
78