Page 290 - 4195
P. 290

p
                              Y      a  X ,                     (3.58)
                                k    jk   j
                                    j 1
           або в матричному вигляді  Y    A T  X .
                 При цьому перша головна компонента
                             p
                       Y    a  1 j  X   A 1 X                 (3.59)
                                   j
                        1
                            j 1
           має найбільшу дисперсію. У формулах (3.48) – (3.51) ве-
           личини  ,X  Y центровані відносно середніх.
                 Вагові коефіцієнти  a  - це нормовані компоненти
                                       kj
           власних  векторів  коваріаційної  матриці  B ,  для  яких
                                                         X
           виконується умова нормування
                               p
                                a 2  1.                         (3.60)
                               kj
                              k 1
                 В  основі  практичного  застосування  методу  голо-
           вних компонент лежить наступна теорема: “Ортогональ-
           не  перетворення  Y   A T X   випадкового  вектору  X   за-
           лишає  інваріантною (незалежною) суму  дисперсій”. Як-
           що рахувати, що інформація про природу випадкової ве-
           личини  X  пропорційна сумі дисперсій, для подальшого
           аналізу  залишають  таку  кількість  компонент  величини
            Y , сума дисперсій яких складає значну частину загаль-
           ної дисперсії. Це дозволяє краще зрозуміти природу ви-
           падкової величини  X  і дає економічний її опис.
                 Геометрично  знаходження  головних  компонент
           приводить до утворення в  p -вимірному просторі ортого-
           нальної  системи  координат,  де  перша  координатна  вісь
           спрямована по напрямку найбільшої дисперсії величини
            X , друга вісь – по напрямку найбільшої залишкової дис-
           персії (після виключення дисперсії першої головної ком-
           поненти) і т.д.
                 В  компонентному  аналізу  відсутні  обмеження  на
           вид розподілу вихідних даних.
                 Розглянемо  порядок  обчислень  в  компонентному
           аналізі.
                                       290
   285   286   287   288   289   290   291   292   293   294   295