Page 290 - 4195
P. 290
p
Y a X , (3.58)
k jk j
j 1
або в матричному вигляді Y A T X .
При цьому перша головна компонента
p
Y a 1 j X A 1 X (3.59)
j
1
j 1
має найбільшу дисперсію. У формулах (3.48) – (3.51) ве-
личини ,X Y центровані відносно середніх.
Вагові коефіцієнти a - це нормовані компоненти
kj
власних векторів коваріаційної матриці B , для яких
X
виконується умова нормування
p
a 2 1. (3.60)
kj
k 1
В основі практичного застосування методу голо-
вних компонент лежить наступна теорема: “Ортогональ-
не перетворення Y A T X випадкового вектору X за-
лишає інваріантною (незалежною) суму дисперсій”. Як-
що рахувати, що інформація про природу випадкової ве-
личини X пропорційна сумі дисперсій, для подальшого
аналізу залишають таку кількість компонент величини
Y , сума дисперсій яких складає значну частину загаль-
ної дисперсії. Це дозволяє краще зрозуміти природу ви-
падкової величини X і дає економічний її опис.
Геометрично знаходження головних компонент
приводить до утворення в p -вимірному просторі ортого-
нальної системи координат, де перша координатна вісь
спрямована по напрямку найбільшої дисперсії величини
X , друга вісь – по напрямку найбільшої залишкової дис-
персії (після виключення дисперсії першої головної ком-
поненти) і т.д.
В компонентному аналізу відсутні обмеження на
вид розподілу вихідних даних.
Розглянемо порядок обчислень в компонентному
аналізі.
290