Page 254 - 4195

Умовна дисперсія  XYD   x в даному випадку не зале-
жить від x і похибка прогнозу згідно (3.35) дорівнює
2
 2  XY   x   2 1 r XY , (3.39)
y
функція регресії Y на X є лінійною (це випливає з
(3.38) і (3.39)), а оптимальний предиктор    Y для Y
можна записати у вигляді

 cov  ,X Y 
   MY   XY  x  M  Y  X  M  X .
D  X
Помилка прогнозу для цього предиктору дорівнює
2 cov 2  ,X Y 
  XY  x  D  Y  ,
D  X
а із формули (3.37) слідує
2  ,X Y 
cov
2
 2   r XY ,
YX
D    YDX
тобто кореляційне відношення для нормально розподіле-
них X , Y дорівнює квадрату коефіцієнта кореляції.

3.3.2 Прогнозування у випадку лінійної регресії

Припустимо, що функція регресії (3.62) є лінійною
M  XY  a  0 a 1 x  ...  a p x , (3.40)
p
1
а матриця D других моментів вектору X , D  D  X не-
особлива. Тоді має місце наступне твердження.
Теорема. Оптимальний предиктор    X Y по X
існує і має вигляд
  1  
   MX   XY  M   bY  D  X  M   aX  0  a X,
(3.41)
де
b   ,...,b 1 b p  b, i  cov  ,Y X i  i,  1 ,..., p .

254