Page 251 - 4195


M  XY   f y  dyxy , (3.34)
 
що має назву функції регресії Y на X 1 ,..., X .
p
Оптимальним (в середньому квадратичному) нази-

вається предиктор  X  , який задовольняє умові
2
  M Y    X  inf M Y   X 2 .

Відповідь на питання існування і виду оптимального
предиктору дає наступне твердження.
Теорема. Оптимальний предиктор    X існує і

має вигляд   MX    XY .
Тобто оптимальним предиктором являється функція
регресії Y на X , визначена рівністю (3.34). Мінімальну
помилку передбачення  можна записати у вигляді
2 2
  M    M Y  M  XY   MX  D  XY    XY ,
(3.35)
що відповідає середньому значенню умовної дисперсії
D  XY  величини Y при заданому X . Для неперервних
розподілів умовна дисперсія обчислюється за формулою

2 2
D  XY  M Y  M  XY  X   x   y  M  XY   XYf dy
 
.

Оптимальний предиктор    MX   XY  має важ-
ливу властивість: він має максимальну кореляцію з Y
серед усіх предикторів. Для доведення цього факту по-
значимо A  M  XY  і для довільного предиктору
    X знайдемо

251