Page 34 - 4168

ω (x (i ) )
x (i+ ) 1 = x + ∆ x (i+ ) 1 = x −
i
i
∂ω . (3.7)
x ∂ (x (i ) )
4 Ітераційний процес збігається, якщо функція ( ) xω наближа-
ється до нуля. Збіжність вважається досягнутою, якщо ве-
личина нев’язки менша заданої, тобто
ω(x (i ) ) ≤ ε . (3.8)
Геометричне пояснення: один крок методу Ньютона зво-
диться до заміни кривої ω ( ) x на пряму
∂ω
ω (x ) 0 ( ) + (x ) 0 ( )⋅ (x − x ) 0 ( ) , яка є дотичною до кривої в то-
x ∂
чці x = x ) 0 ( . Тому метод Ньютона називають також методом
дотичних. Наближення x ( + i ) 1 є точкою перетину дотичної до
кривої в точці x = x ) 0 ( з віссю Х.
Алгоритм методу Ньютона для системи нелінійних алгебраїч-
них рівнянь
Розглянемо розв’язання за методом Ньютона системи не-
лінійних алгебраїчних рівнянь.
ω
 (x 1 , x 2 , x 3 ) = ;0
1

 ω 2 (x 1 , x 2 , x 3 ) = ;0 (3.9)
 ω (x , x , x ) = ;0

1
3
2
3
1 Застосуємо вектор-стовпчик Х і вектор функцію W(X), де
x 1 ω (x 1 , x 2 , x 3 )
1
)
X = x 2 , W (X ) = ω 2 (x 1 , x 2 , x 3 . (3.10)
x 3 ω 3 (x 1 , x 2 , x 3 )
Систему (3.9) представимо у вигляді матричного рівняння
W (X ) = 0 . (3.11)
( )0
2 Нехай x , x , x - початкові наближення невідомих. За-
( )0
( )0
1
2
3
мінимо кожне з нелінійних рівнянь системи (3.9) лінеаризо-
ваним. Перше рівняння після лінеаризації матиме вигляд
34