Page 38 - 4168

Послідовно отримуємо 1-е, 2-е, 3-є наближення - точки з
1 2 3
координатами X ; X ; X . Таким чином здійснюється оп-
тимізація по одній координаті.
5 Повторюємо кроки 2-4 з іншою змінною х i до тих пір, поки
цільова функція не почне збільшуватися за всіма координа-
тами. Обчислювальна процедура повторюється до досяг-
нення точності, яка відповідає вибраному кроку. Точка
розв’язку знаходиться в околиці мінімуму цільової функції
Z.
Метод найшвидшого спуску
Точність і об'єм обчислень в градієнтних методах з пос-
тійним кроком λ визначається величиною цього кроку. При
збільшенні довжини кроку об'єм обчислень (кількість кроків)
зменшується, проте зменшується і точність визначення міні-
муму цільової функції. При зменшенні довжини кроку точність
збільшується, проте об'єм обчислень (кількість кроків) зростає.
Питання про вибір раціональної довжини кроку в градіє-
нтних методах є свого роду оптимізаційною задачею.
Один із способів визначення оптимальної довжини кроку
λ опт називається методом найшвидшого "спуску".
Початок обчислювальної процедури такий же, як і в гра-
дієнтному методі з постійним кроком.
Алгоритм методу найшвидшого спуску
0
1 Приймаємо початкове (нульове) наближення ( ).
X
0
2 Обчислюємо значення цільової функції в цій точці Z .
3 Відповідно до виразу (2.17) для цієї точки обчислюємо
grad Z.
4 З початкової точки у напрямі градієнту (оптимуму) цільо-
вої функції виконyємо два одиничні кроки (λ=1). В кінці
1
кожного кроку обчислюємо значення цільової функції Z і
2
Z .
1
2
0
5 Отже, маємо три значення цільової функції Z , Z і Z , що
відповідають нульовій (λ =0), одиничній (λ =1) і подвійній
(λ =2) довжинам кроку. Ці три значення характеризують
перетин цільової функції Z у вибраному напрямі "спуску".
6 Відомо, що через три точки можна провести єдину парабо-
лу Z = aλ 2 + b +λ , c де а, b,c - постійні коефіцієнти. Визна-
чимо координату мінімуму цієї параболи, для чого прирів-
няємо до нуля першу похідну функції по змінній λ:

38