Page 31 - 4168

5 З теорії НП відомо, що оптимальне значення цільової функ-
ції знаходиться в крайній точці ОДР, тому переміщаємо z 0 в
бік оптимуму. При цьому оптимальне z max(min) може мати:
- одну спільну точку з ОДР, яка і буде оптимальною;
- відрізок спільних точок з ОДР, множина яких буде
розв’язком;
- необмежену кількість точок, якщо z не виходить за межі
ОДР.
Дослідження стаціонарних точок функції та визначення їх
характеру
Розглянемо теореми, в яких формулюються необхідні і
достатні умови існування екстремумів цільової функції п-

змінних (xf ) . При цьому допускаємо, що перша та друга ча-

сткові похідні цільової функції неперервні в кожній точці x .
Теорема 1. Якщо функція y = f (x ) у внутрішній точці
x відрізку [ ] ba; має екстремум, то в цій точці похідна ' f (x 0 ),
0
якщо вона існує, дорівнює 0.
f ( ' x 0 ) = 0 (3.3)
Внутрішня точка x проміжку x називається стаціона-
0
0
рною точкою функції y = f (x ), якщо в цій точці 'f (x 0 ) = 0 .
Функція може мати екстремум у стаціонарних точках.
Проте не слід вважати, що функція кожного разу в стаціонар-
ній точці має екстремум, так як в цій точці виконується тільки
необхідна умова існування екстремуму. Перша похідна у точ-
ках перегину та сідлових точках також дорівнює нулю.
Достатню умову існування екстремальної точки форму-
лює наступна теорема. 
Теорема 2. Стаціонарна точка x є екстремальною, коли
0

матриця Гессе H у точці x буде:
0

1) додатньо означена, тоді x - точка мінімуму;
0

2) від’ємно означена, тоді x – точка максимуму.
0

Якщо Н – невизначена матриця, то x – є сідловою точ-
0
кою.

31