Page 33 - 4168

Теорема 3. Якщо в стаціонарній точці x перші ( −n ) 1 по-
0
хідних функції (x перетворюються в нуль, а f (n ) (x ) ≠ 0 , то
)
f
при x = x функція (xf ) має:
0
1 точку перегину, якщо n-непарне;
2 екстремальну точку, якщо n-парне.
Екстремальній точці відповідає максимум при f n (x 0 ) < 0 і
мінімум при f (n ) (x ) > 0 .
Метод Ньютона
Метод Ньютона – високоефективний метод розв’язання
нелінійних рівнянь. Ідея цього методу полягає в послідовній
заміні на кожній ітерації нелінійної системи рівнянь деякою
лінійною, розв’язання якої дає значення невідомих. Ці значен-
ня ближчі до розв’язання нелінійної системи, ніж вихідне на-
ближення. Ідею методу легко зрозуміти на прикладі
розв’язання рівняння з однією невідомою.
Алгоритм методу Ньютона для рівняння з однією невідомою
( (xω ) = 0)
∗
ω
)
1 Розв’язок даного рівняння x - це точка, в якій крива (x
проходить через нуль. Беремо початкове наближення x ( 0 ) .
Замінюємо поблизу точки x ( 0 ) лінійним рівнянням (3.5).
∂ω
ω (x ) 0 ( ) + (x ) 0 ( )( − xx ) 0 ( ) = 0 . (3.5)
∂x
Ліва частина якого - це два перших члена розкладеної фун-
кції ( ) xω в ряд Тейлора.
2 Розв’яжемо лінійне рівняння (3.5) і знайдемо поправку x∆ ( ) 1
до початкового наближення:
ω (x ) 0 ( )
∆ x ) 1 ( = x ) 1 ( − x ) 0 ( = − . (3.6)
∂ω

x ∂ (x ) 0 ( )
3 Наближення визначаємо згідно 2.7:

33