Page 32 - 4168

Критерій Сільвестра визначає чи є квадратна матриця
додатньоозначеною (від'ємноозначеною). Названий по імені
англійського математика Джеймса Джозефа Сильвестра.
Якщо квадратична форма в деякому базисі має матрицю
a
( ).
ij
a 11 ... a i 1
∆ i = ... ... ...
a i1 ... a ii
Квадратична форма є додатньовизначеною, тоді і тільки
тоді, коли всі кутові мінори її матриці ∆ строго додатні.
i
Квадратичная форма є від'ємновизначеною, тоді і тільки
тоді, коли знаки всіх кутових мінорів її матриці чергуються,
причому ∆ 1 < 0 .
Для функції з трьома змінними матриця Гессе Н матиме
вигляд

∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f
x ∂ 1 2 x ∂ 1 x ∂ 2 x ∂ 1 x ∂ 3
∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f
H = (3.4)
x ∂ 2 x ∂ 1 x ∂ 2 2 x ∂ 2 x ∂ 3

∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f
x ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x ∂ 2
3 1 3 2 3
Достатні умови, які наведені в теоремі 2, дуже просто фо-
рмулюються для функції однієї змінної.
Нехай x - стаціонарна точка, тоді:
0
1) 'f (x 0 ) < 0 – достатня умова існування max в точці x ;
0
2) 'f (x 0 ) > 0 – достатня умова існування min в точці x .
0
Дані умови випливають з того факту, що матриця Гессе
для функції однієї змінної містить один елемент.
Якщо f ( ' x 0 ) = 0, то необхідно досліджувати похідні ви-
щих порядків.

32