Page 20 - 4

Перехiд до кiнцевої довжини запису призводить до, так званого, "розмивання",
оскiльки ця функцiя повинна бути детермiнованим сигналом в iнтервалi - + .
Використовуючи занадто вузьке часове вiкно, не всi особливостi спектра будуть
вiдображенi, а рiзкi краї часового вiкна призводять до появи фальшивих пiкiв. Якщо
вiдстань мiж сусiднiми частотами f 1 i f 2 дорiвнює 1/T, то з допомогою прямокутного вiкна
довжиною T не можливо розрiзнити два пiки на частотах f 1 i f 2 - оскiльки вони будуть
зливатись в один пiк. Отже, щоб роздiлити два пiки на частотах f 1 i f 2 , необхiдно
використати для прямокутного вiкна в часовiй областi дiлянку розмiрами TxT.
1
T  (3.36)
f  f
1 2

Наприклад, для того щоб розрiзнити перiодичностi в рельєфi, що мають перiоди 15м i 20м,
необхiдно дослiджувати дiлянку з розмiром не менше 60м. Оскiльки згiдно (3.36) для f 1 =
1/15 i f 2 = 1/20, T = 60 м.
Що стосується ширини спектрального вiкна, то його визначають, як вiдстань мiж
точками, в яких потужнiсть спектра зменшується на один порядок [24].
Будемо вважати, що квантування виконане з достатньо малим кроком, тобто рельєф
представлено в цифровiй формi вiдмiтками в перехрестях прямокутної сiтки таким чином,
що не вноситься нiяких помилок. Тому для аналiзу рельєфу спочатку можна отримати
грубу вибiркову оцiнку форми спектру. Потiм, якщо буде необхiднiсть, можна збiльшити
розмiри дiлянки, що пiдлягає дослiдженню, а також збiльшити ширину смуги частот.
Функцiя, що описує початкове неперервне зображення, може бути представлена
розподiлом яскравостi, оптичною щільністю чи iншим параметром реального зображення.
F(x,y) будемо вважати зображенням, що має реальнi значення в прямокутнiй областi
- L x x L x
-L y  y  L y

F(x,y) слiд вважати неперервною в областi її визначення, однак ця умова не є обов’язковою.
Система дикретизацiї буде предствляти собою функцiю, для якої просторовi вiдлiки
отримуються перемноженням початкової функцiї з просторово дискретизуючою функцiєю

 
D x y( , )     x (  j x y,  j  y) , (3.37)
2
1
j  j 
2
1

складеною з дельта функцiй, що заданi в перехрестях решiтки з кроками x, y.
Отже, як вже було сказано, спектр дискретизованого зображення отримується
шляхом нескiнченного повторення спектру вихiдного сигналу, зміщуючи його на величину
x, y. Тому, якщо x, y вибранi завеликi в порiвняннi з шириною спектра, то сусiднi
спектри будуть перекриватись. Як i в одновимiрному спектральному аналiзi крок
дискретизацiї повинен бути меншим або рiвним половинi перiоду просторової гармонiки,
що вiдповiдає найменшим деталям зображення. Коли просторова частота дискретизацiї
зображення достатня для того, щоб спектри не накладались, то початкове зображення
можна абсолютно точно вiдновити шляхом просторової фiльтрацiї вiдлiкiв з допомогою
вiдповiдного фiльтра. Для аналогової функцiї F(x,y), заданої в безмежнiй областi,
перетворення Фур’є, що створює спектр Фур’є F d(f x,f y), виразиться