Page 19 - 4

Для прямого двовимiрного дискретного перетворення Фур’є двовимiрної функцiї, наприклад
дiлянки мiсцевостi, заданої матрицею вiдмiток, користуються формулою

1 N 1 N 1 xf yf y
S f f( x y )    F x y( , ) exp[ j2 ( x  )],
N x0 y0 N N (3.32)

N1=N2=N, розміри ділянки.

де f x,f y -просторовi частоти. Вiдповiдне обернене перетворення Фур’є має вигляд

1 N 1 N 1 xf yf y
F x y( , )    S f( f , ) exp[ j2 ( x  )],
N x y N N (3.33)
x0 y0

Масштабнi нормуючi множники в останнiх двох виразах взятi з [18]. В деяких роботах
використовуються iншi масштабнi постiйнi. Використання двовимiрного перетворення
Фур’є потребує розв’язку задачi вибору оптимального розмiру дiлянки, яку дослiджують, i
розгляду питання про точнiсть i достовiрнiсть отриманої спектральної функцiї. Величину
вiкна в часовiй областi вибирають, виходячи з тих же мiркувань, що й при одновимiрному
спектральному аналiзi. А саме, сигнал обмеженої довжини має амплiтудний спектр
нескiнченної ширини i, навпаки, частотному спектру обмеженої ширини повинна
вiдповiдати часова функцiя нескiнченного розміру. Сказане випливає з того, що пряме та
обернене перетворення Фур’є майже подiбнi i вiдрiзняються тiльки знаком в
експонентi, а при косинусному перетвореннi Фур’є щезає навiть ця вiдмiннiсть.
При дослiдженнi поверхонь можна вважати, що основна частина сигналу
зосереджена в обмежених iнтервалах як для часу T, так i для частот . За межами цих
iнтервалiв значеннями функцiї i її спектра можна нехтувати. Як вiдомо [20], довжина функцiї
T i її ширина спектра  оберненопропорцiйнi.

T=, (3.34)

де  - константа, що залежить вiд виду функцiї та вiд критерiю, що приймається при
обмеженнi довжини функцiї чи ширини її спектру. При дослiдженнi рельєфу  можна
пiдiбрати з практичних мiркувань. Для рельєфу, що плавно змiнюється,  вибирають
меншим, а для поверхонь, що рiзко змiнюють свою форму -  вибирають бiльшим,
оскiльки функцiя спектральної щільності при цьому повiльно зменшується і зникає на
високих частотах.
Для бiльшостi дiлянок рельєфу земної поверхнi характернi випадковi змiни амплiтуд,
частот i фаз. Отже використання аналiзу Фур’є повинно враховувати їх випадкову природу.
Практично спектральний аналiз виконується тiльки на матерiалі обмеженої довжини i за
обмеженим об’ємом даних. Наприклад, для двовимiрного спектрального аналiзу, як i для
одновимiрного.

 1 , t  T / ,2
( )t   (3.35)
 0 , t  T / .2