Page 18 - 4

N 1 sin( t (  n t))
s t( )   s n t(  ) 0 . (3.27)
n0  0 t (  n t)

Слiд пiдкреслити, що в часовому представленi вiдлiки будуть дiйсними числами, а в
частотному - комплексними.
Практично для дискретного перетворення Фур’є одномiрної функцiї користуються
формулою

N 1 2
S k( )   t  s n( ) exp( j nk) , (3.28)
n0 N

n= 0,1,...,N/2 для N парного і n= 0,1,...,(N-1)/2 для N непарного. Звiдси видно, що значень
частот обчислюють вдвiчi бiльше, нiж вiдлiкiв в часовiй областi. Пояснюється це тим, що
при k>N/2 комплексно-спряженi данi будуть повторюватись i їх можна обчислювати тiльки
половину, тобто стiльки ж, скiльки в часовiй областi. Обернене перетворення Фур’є
виконують за формулою

1 N 1 2
s n( )   S k( ) exp( j nk) , (3.29)
N t N
n0

n=0,1,...,N-1.

3.5. Двовимірна трансформація Фур’є

Все, сказане в попередньому пiдроздiлi, можна перенести i на двовимiрне
перетворення Фур’є, тому на теоретичних аспектах зупинимось лише коротко. Нехай
функцiя F(x,y) описує поверхню нескiнченних розмiрiв як неперервне зображення розподiлу
висот. Велика буква F використовується в даному розділі тому, що відповідною малою
буквою позначається тут частота. В iдеальнiй системi дискретизацiї зображень просторовi
вiдлiки вихiдного зображення отримують перемноженням цiєї функцiї з функцiєю, що
складається з нескiнченної кiлькостi дельта-функцiй, якi задаються у вузлах решiтки з
кроком x, y.

 
D x y( , )     x (  j x y,  j  y) (3.30)
2
1
j  j 
1
2

Тодi дискретне зображення запишеться спiввiдношенням

 
F x y( , )  F x y D x y( , ) ( , )    F j x j(  ,  y) (  x j x y,  j  y) . (3.31)
d 1 2 1 2
j  j 
1
2