Page 58 - 2589

Розглянемо множину натуральних чисел N та її підмножини
N = {1, 2, 3, ..., k}. Множина А, рівнопотужна підмножині
k
натурального ряду N , називається скінченною, а k – потужністю
k
множини, або її кардинальним числом. Для скінченної множини
частіше вживається термін «кількість елементів». Записується

цей факт як |A|=k.
Відношення рівнопотужності має такі властивості:
 рефлексивності (А ~ А), що очевидно;

 симетричності (А~ В <=> В ~ А) – випливає з того, що
відображення, обернене до взаємно однозначного, також є
взаємно однозначним;

 транзитивності ( A ~ B  B ~ C  A ~ C ) – випливає з того,
що композиція двох взаємно однозначних відображень також
взаємно однозначна.

Таким чином, відношення рівнопотужності є відношенням
еквівалентності (часто називають відношенням кардинальної
еквівалентності) і індукує розбиття множини всіх множин на

неперерізні класи однакових за потужністю множин.
Властивості відношення потужності
- Розглянемо родину скінченних множин А , i 1  n. Якщо
i
| A | m |, A | m , | , A | m то | A  A   A |=
1 1 2 2 n n 1 2 n
п
п
=m  m   m . Якщо A  A i 1  n , то |А |=|A| .
1 2 n i
n
- Якщо |А|=п, то P(| A |)  2 .
Властивості скінченних множин:
1) Переріз скінченного числа скінченних множин є
скінченним.

2) Об'єднання скінченного числа скінченних множин –
скінченне.
3) Декортовий добуток скінченного числа скінченних множин

є скінченним
Множини, що не є скінченними, називаються нескінченними.
Нескінченна множина, рівнопотужна множині натуральних

чисел N, називається зліченною. її потужність (або кардинальне
число) дорівнює  (алеф-нуль).
0
Властивості зчисленних множин:

1) Будь-яка підмножина зчисленної множини – скінченна або
зчисленна.
Тому часто зчисленною називають множину, рівнопотужну

натуральному ряду або будь-якій його нескінченній підмножині.
2) Об'єднання скінченного числа зчисленних множин є

58