Page 55 - 2589

Може виявитися, що для деяких пар (x, y) жодне зі
y
x
y
x
співвідношень x або y ( x або y ) не виконується. Такі
елементи х й у називаються незрівнянними. У цьому випадку
кажуть, що множина є частково впорядкованою.

Приклад 3.37: Розглянемо відношення включення множин на

U
множині всіх підмножин деякого універсуму   . Оскільки для
Р
нього виконуються властивості:
 рефлексивності, тому що  X  P  XU  X 
 асиметричності X  Y  Y  X  X  Y  (за теоремою

рівності множин);

 транзитивності X  Y  Y  Z  X  Z , яку доведено
вище, відношення включення множин є відношенням нестрогого
Р
U
порядку і   є впорядкованою множиною.
Проте очевидно, що серед усіляких підмножин U знайдуться такі

Р
U
множини Х і Y, що ні X  Y , ні Y  X не виконуються. Отже,  
з відношенням нестрогого порядку «» є частково впорядкованою
множиною.

Приклад 3.38: Як ілюстрацію відношення лінійного порядку
можна навести також відношення старшинства на множині

офіцерських звань: лейтенант, старший лейтенант, капітан,
майор, підполковник, полковник, генерал, маршал. Очевидно, що
на заданій множині виконується відношення «бути молодшим за

званням», яке описується співвідношення «х є молодшим за
званням, ніж у». Зазначимо, що співвідношення «бути молодшим
за віком» на цій множині, взагалі кажучи, не збігається із заданим

відношенням (наприклад, генерал може бути молодшим за
полковника або одного з ним віку). Отже, оскільки побудоване
відношення є транзитивним i симетричним, це відношення
строгого порядку. Крім того, воно виконується для будь-яких

елементів множини, які розглядаються. Отже, цей порядок є
лінійним.

3.7.3 Вагові функції.

Нехай f : X  R є відношенням, заданим на множині X. Це

означає, що кожному елементу х  X відповідає деяке дійсне
число у=f (х), яке називається вагою. Відображення f при цьому

55