Page 53 - 2589

 «Проживати в одному будинку» на множині людей.

 «Подібність трикутників» у множині всіх трикутників на
площині.
 «Паралельність прямих» у множині всіх прямих на

площині.

Приклад 3.34. Довести, що відношення рівності «=» на будь-
якій множині є відношенням еквівалентності.

Розв’язок.
Дійсно, для даного відношення виконуються властивості:

рефлективності (a  ) a ; симетричності (a  b  b  ) a ;
транзитивності а ( b b  с ) а  с.

Класом еквівалентності елемента а називається множина
всіх елементів множини X, які еквівалентні елементу а.

Позначається   а , тобто формально можна записати:
~
  а  x  Х | a ~  x
~ .
Для класів еквівалентності справедливо наступне:
1) a   а - це твердження природно випливає із
~
рефлексивності відношення еквівалентності.
2) a ~ b    a ~   b .
~
3) Якщо на множині X задано відношення еквівалентності, то
воно задає розбиття множини і це розбиття – єдине.
~
Підмножина Х множини X, що містить один і тільки один
елемент із кожного класу деякого розбиття, називають
системою представників відповідного відношення

еквівалентності.

Приклад 3.35: Відношення «проживати в одному будинку» на

множині жителів міста, очевидно, є відношенням еквівалентності й
розбиває цю множину на неперерізні підмножини людей, які є
сусідами в будинку.

Приклад 3.36: Розглянемо відношення рівності за mod(m) на
множині цілих чисел Z. Говорять, що х дорівнює у за mod(т) де
0  у  m, якщо x   y ділиться на т без залишку. Записують це так:

x  y mod(m ). Усі цілі числа, які дорівнюють у за mod(т),

53