Page 49 - 2589

n
m
Для багатомісних функцій f : A  B, g : B  C можливими
є різні варіанти підстановки f у g , які дають функції різних

типів. Наприклад, при m  , 3 n  4 функція має шість аргументів і
1 h  ( 1 y ( x g , 1 f , , 4 x ) 3 x , 2 y 3 , ,y
2
3
діє з B  A  B  C , а функція
h  g ( f (y , y y ), f (z ,z ,z ) , x ,x )
2 1 , , 2 3 1 2 3 3 4
2
6
має вісім аргументів та діє A  B  C . Особливо цікавим є
випадок, коли задано множину функцій типу
m
m
m
f : A  A, A  A,.., A  A. У цьому випадку може бути
1
2
2
1
виконане будь-яке перейменування аргументів, наприклад
перейменування x в x , що породжує з функції (xf ,x ,x ,x )
3 2 1 2 3 4
функцію трьох аргументів (xf , x ,x , x ).
1 2 2 4
Функція, що утворюється з функцій f , f ,..., f деякою
1
n
2
підстановкою їх одна в одну і перейменуванням аргументів,
називається суперпозицією f , f ,..., f .
1
2
n

Приклад 3.20: У функції f 1 (x 1 , x 2 , 3 )  x  2x  7x
3
1
2
перейменування  на x , приводить до функції
3
f 1 (x 1 , x 2 , x 3 )   1  2x  7x  f 2 (x 1 , x 2 ) x  1 9x , Перейменування x та
2
1
3
2
x 3 на  , приводить до одномісної функції f 3 ( 2 )  10x .
2

Приклад 3.21: Елементарною функцією в математичному
аналізі називається кожна функція f , що є суперпозицією
фіксованого (тобто незалежного від значень аргументів f ) числа

x
арифметичних функцій, а також функцій e log, x sin, x arcsin, x.
Наприклад, функція log 2 (x  x 2 )  3 sin x  x - елементарна,
1
1
3
оскільки є результатом кількох послідовних суперпозицій
2
x  x log, x, x 3, x sin, x.
1 2

Приклад 3.22: Коло одиничного радіуса з центром у точці
G ) 2 , 3 ( (рис.3.8), тобто множина пар дійсних чисел ( yx , ) які

2
2
задовольняють співвідношення ( x ) 3  ( y ) 2  1, задає
відношення між віссю абсцис і віссю ординат (тобто R та R )

Образом числа 4 при цьому є однина 2, образом відрізка ,2[ ] 3 –
відрізок 1[ ] 3 , на осі ординат, цей же відрізок 1[ ] 3 , є образом

відрізка ,3[ ] 4 на осі абсцис. Задане відношення (або відповідність)

49