Page 23 - 2589

Якщо x B  C  x B  x C  x A B  x A C 

 x A B  A C .

Доведемо, що A B  A C   A B  C .
Нехай x A B  A C .

Тоді x A B  x A C  x A (x B  x C ).

Якщо x A  x A  (B  C ).
Якщо x (x B  x C )  x B  C  x A (B  C ), що й

потрібно було довести.
Будь-яка теорема алгебри множин виводиться з тотожностей
табл. 2.1. Властивості 1 – 5 і 13, у свою чергу, можна довести

тільки в термінах належності. Наприклад, доведемо властивість
8а) A A  A , послідовно використовуючи властивості 46), 5а),
За), 56), 4а):

A A  A A  U  A A  A A  A A A  A   A
.
2.4 Декартовий (прямий) добуток множин

Нехай A і B – дві множини. Розглянемо множину
C    a, b  a | A, b B . Ця множина називається декартовим
добутком множин A і B та позначається A . Якщо множини A і
B
B скінченні і складаються відповідно з m і n елементів, то очевидно,

n
що C складається з m  елементів.
Окремий інтерес викликає випадок, коли множина A дорівнює
B. Для розгляду цього випадку введемо поняття упорядкованої

пари.
Упорядкованою парою елементів множини A назвемо об'єкт
 ,aa  ' , що складається з двох, не обов'язково різних, елементів – a

'
і a множини A , для яких вказано, котрий потрібно вважати
першим, а котрий — другим. Так, якщо A   ,2,1  5 , 4 , 3 , то
упорядковані пари   4,3 і   3,4 слід вважати різними, оскільки в

першій парі першим елементом є 3, другим – 4, а в другій парі –
навпаки. Упорядкованими парами є також пари (1,1) (2,2), (3,3),
(4,4), (5,5).

Множина C   aa ',  a,| a '  A всіх упорядкованих пар ( aa , ) '
елементів із множини A називається декартовим квадратом
2
множини A і позначається A .
Поняття упорядкованої пари можна розширити на
упорядковані трійки елементів (a ,a ,a ) упорядковані четвірки
1 2 3
(a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ) і т.д. Взагалі, упорядкована n-ка елементів із множини

23