Page 22 - 2589

Множину, елементами якої є всі підмножини множини А,
називають множиною підмножин (множиною-степенем)
множини А і позначають P ( ) A . Так триелементній множині

A  {a ,b .c } відповідає множина-степень

P { ,a ,b ,c { , a ,b }, {a ,c }, {b ,c }, {a ,b ,c , }}.

У разі кінцевої множини А, що складається з n елементів,
n
множина підмножин P ( ) A містить 2 . Слід підкреслити
відмінності між відношенням належності () і відношенням
включення ( ). Як уже зазначалося, множина А може бути своєю

підмножиною ( A  A), але вона не може входити до складу своїх
елементів ( A A). Навіть у разі одноелементних підмножин
потрібно відрізняти множину A   a та її єдиний елемент а.

Відношення включення має властивість транзитивності,
відношення належності цієї властивості не має. Наприклад,

множина A     4,3,2,1 у числі своїх елементів містить
множину  3,2 , тоді можна записати: 3,2  } 3 , 2 { і ,2{ } 3  A. Однак

це не означає, що елементи 2 та 3 є в множині А (в наведеному
прикладі немає 2 і 3 серед елементів множини А, тобто 3,2  A).

2.3 Тотожності алгебри множин

За допомогою операцій над множинами можна скласти різні
алгабраїчні вирази, які в свою чергу теж є множинами. Якщо
позначитти через  (A , A , , A ) деякий алгабраїчний вираз,
1 1 2 n
складений з множин A , A , , A , а через  2 (A 1 , A 2 , , A n ) –
2
1
n
інший алгабраїчний вираз складений з тих же самих множин, то
очевидно кожний з ціх виразів буде являти собою деяку
множину. Якщо ці алгабраїчні вирази являють собою одну і туж
множину, тоїх можна прирівняти один до одного, отримуючі

алгабраїчу тотожність виду:
 1 (A 1 , A 2 , , A n )  2 (A 1 , A 2 , , A n ).

Основний метод доведення тотожності в алгебрі множин
ґрунтується на на основі принципу об’ємності (2.3) і
застосуванні твердження (2.6).

Доведемо, наприклад, тотожність 3а
Доведемо, що A B  C  A B  A C .

Нехай x A B  C .Тоді x A x B  C .
Якщо x A  x A B  x A C  x A B  A C .

22