Page 27 - 2589

студентів.
З умови задачі також слідує, що (А  )Ф  (А Ф  Н ) 9-1-

1-3=4, а тому тільки англійську мову вивчають 29-4-3-7=15

студентів. Тоді число студентів, не вивчаючих ні однієї мови,
буде рівно U  (А Ф  Н ) 100-(1+1+3+4+7+15+19)=50

студентів (див. діаграми Ейлера-Віна).

Приклад 2.8. Довести аналітично тотожність:

( A  ) B  C  ( A  C )  ( B C ).
Розв’язок. Введемо позначення: D  ( A  ) B  C;

E  ( A  C ) ( B C ).
D
C
а) Нехай x , тоді має місце або x  A  B, або x  . Якщо
x  A  B, тоді x A x B і в такому випадку x A  C  x B  C
C
або , що те саме x  ( A  C )  ( B C ) тобто x  . Якщо x  , тоді
C
можна записати  Ax C  x  B C одночасно. Звідки, очевидно, і
в цьому випадку x  ( A  C )  ( B C ), тобтоx  . Отже, якщо
E
x D, то x  . Відповідно D  . E
E
E
б). Нехай x  . Тоді x  A  C і x  B C. Якщо x  A  C, то
C
. C
або x  , A , або x Але, якщо x  , то x  . Якщо x  , тоді
C
D
x  . B Із останнього слідує , що  Ax  x  , B тобтоx  A  B, або теж
E
саме що x  ( A  ) B  C тобто x  D. Отже, якщо x  тоx  D.
Відповідно, E  .
D
Із пп. а і б слідує, що D  E  E  D. Відповідно D  E,

тобто A(  ) B  C  ( A  C )  ( B C ). Тотожність доведена.

Приклад 2.9. Довести, що для довільних множин A і В має

місце співвідношення A  B  B  A .
Розв’язок.

Для доведення доцільно використати метод від
протилежного. Тобто припустимо, що A  B  B  A. Тоді із

A  B  якщо x A  x B. (1)
З іншого боку, із B  A  існує такий елемент x , що

27