Page 17 - 2589

Слід розуміти, що принцип об'ємності є нетривіальне
допущення про відношення належності. Доведення рівності двох
множин A і B складається з двох етапів: на першому етапі

B
доводиться, що якщо, x то x ; на другому – що якщо
A
A
x B , то x , або формалізовано
A  B   x x A  x B  x B  x A . (2.1)

Та (однозначно визначена) множина, елементами якої є
предмети x , x , x , , позначається
1 2 n
{x , x , , x }, або x }{ n . (2.2)
1 2 n i i 1
Зокрема, {x – так звана одинична множина – є одноелементна
}
множина, єдиним елементом якої є x .

З інтуїтивного принципу об’ємності зокрема випливає, що
порядок елементів у описі може бути будь яким, наприклад,
{x , x , x } {x , x , x }, і елементи що повторюються можуть бути
1 2 3 3 1 2
видалені наприклад, {x , x , x , x , x , x , x } {x , x , x }.
1 1 1 2 2 3 3 1 2 3
Якщо необхідно підкреслити, що елементами деякої
множини є множини, то говорять про завдання системи множин:
  {A ,A , , A }. (2.3)
1 2 n
Множини бувають скінченними та нескінченними. Множини
називають скінченними, якщо число їх елементів скінченне,

тобто існує натуральне число n, яке є числом елементів
множини. Множини називають нескінченними, якщо вони
містять нескінченне число елементів.

Існує три способи завдання множини: перерахування, опис,
породжуючи процедури.
Перерахування. Вказаний вище (2.2) і (2.3) тут для
позначення множини служить пара фігурних дужок { },

усередині яких перераховуються елементи множини.
Опис (Інтуїтивний принцип абстракції). Елементи

множини визначаються за заданим законом (правилу).
Наприклад, A  {x | твкрдження про x }, яке читається як: "А є
множина таких елементів х, для яких (твердження про х) вірно".

Інакше можна записати так: A  {x ( P | x )}, яке читається як "А є
множина таких елементів х, які мають властивість Р".

Породжуюча процедура. Спосіб отримання елементів
множини із вже отриманих елементів. Наприклад, множина А
усіх цілих чисел, що є степенями числа 2 може бути представлена

процедурою заданою правилами, які називаються рекурсивними

17