Page 169 - 2589

 2 1   1  1
e t A  e t  e  2t ,
   
  2  1   2 2 
Відмітимо, що матриці в останній рівності мають вигляд зо 
1 1
і зо  . Дійсно в загальному випадку отримуємо співвідношення
2 2
t

1 t
з 

t
A
e  e о   e о з , 
n
1 1 n n
де  ,о о , о ,  – власний базис,  ,з  з , з ,  – взаємний базис
1 2 n 1 2 n
(все це справедливо, якщо власні значення різні).

Якщо розкласти матрицю A
1

A  S Л S
то

1

f (A ) S f (Л )S  S diag f ( ), f ( ), , f (  ) S  1 .
(
1 2 n

7.9 Випадок кратних власних значень

Може бути випадок, що квадратна матриця A порядку n має
кратні власні значення , які відповідає деякому одновимірному
інваріантному підпростору.

2  1
Приклад 6.18: Матриця A  має характеристичне
 
 0 2 
рівняння

2
q ( )  2 (   )  0
коренями якого       2 співпадають. Цьому власному
1 2
значенню відповідає тільки один власний вектор. Дійсно

0   1 о 1    0
       ,
 
 0 0 о 2   0 
звідси

  1
о  о  .
1 2  
 0 
Якщо ж ми розглянемо матрицю

169