Page 165 - 2589

7.8.2 Функції від квадратної матриці.

Припустимо, що задана скалярна функція   tf і ми хочемо

n
отримати відповідну n -матричну функцію   квадратної
A
f
f
A
матриці A порядку n. Наприклад, якщо   tf -поліном. то   -

сума з такими ж коефіцієнтами відповідних степенів матриці A .
A
Перш за все визначимо функцію від матриці, коли f  
розкладається в степеневий ряд, тобто
 1
k
  
f A  f A
k k0 ! k
де   tf має такий же степеневий ряд

 1
f   t   t f k
k k0 ! k

у припущенні, що матричний ряд сходиться. Тому   існує,
f
A
f 
якщо існують   при k  1  n Використовуючи теорему Келі
k
- Гамільтона, можна спростити обчислення матричної функції.
A
Оскільки по припущенню функція f   розкладається в

нескінченний ряд по ступенях матриці A , її можна представити
як кінцеву суму виду

n 1
f   A   A k
k
k 0
n невідомих коефіцієнтів а цьому виразі, можна визначитиз

сіввідношення
n 1
  i  i k  (f  ), k 1 .
n
k
i 0
Фактично отримано n рівнянь від n змінних  , , ,
0 1 n  1
які можна представити матричним рівнянням:

 1   2   n 1      f  

1 1 1 0 1
 1   2   n 1      f   
 2 2 2   1    2 
           
 2 n 1     
 1  n  n   n    n 1   f   n 

яке має розв’язок, якщо визначник Вандермонда (визначник
квадратної матриці порядку n в лівій частині рівняння)

відмінний від нуля. Визначник Вандермонла відмінний від нуля
тоді і тільки тоді, коли власні значення різні (що і

165