Page 162 - 2589

перший член характеристичного рівняння не дорівнює нулю,
тому

  0 (k  2 , 1 ,...,n ),
k
~
~
і координата x просто представляється через координату y :
k k
~ 1 ~
y .
x 
k k

k
Тому в базисі власних векторів лінійне перетворення T ,
якому відповідає матриця A в первинному базисі,
представляється матрицею
 1 0 0 0 

 0  0 0 
Л   2  ,
 0 0  3 0 
 
 0 0 0  n 
або

Л  diag ( , ,..., ).
1 2 n
Розглянемо матричне відображення Ах  у припущенні,
y
що базис довільний. Побудуємо матрицю S, стовпцями якої є
лінійно незалежні власні вектори в цьому довільному базисі:

о о  о 
S  1 2 n .
 
     

Тоді вектор x в базисі власних векторів має вигляд
~ S  1 x, або x  S  1~
x 
x.
Оскільки власні вектори лінійно незалежні, то матриця S

1 
невироджена. Тепер розглянемо рядки матриці S як вектори:
 з   
 1  
з  
1
S  2
  
 
 з   
 n 
вектори з утворюють базис, який називається взаємним.
k
1

Оскільки SS  E то
0, якщо k  ,l
з ' о  
k l
 1, якщо k = l .
Отже, якщо в базисі власних векторів о о , , о , вектор x
1 2 n
представляється у вигляді

162