Page 161 - 2589

якщо виконана рівність

(А  E)о  0,

то вірна також рівність

(А  E)(k о ) 0,

де k - довільне комплексне число. Деяку невизначеність можна
усунути, нормалізуючи власні вектори. Множина нормалізованих
власних векторів будується по формулах

1
e  о (k  2 , 1 ,...,n ),
k * k
 
k k
*
(де позначає комплексне спряження і транспозицію); тоді
e * e  1. Проте вибір довжини визначає власні вектори все ще
k k
неоднозначно, так, якщо e - власний вектор одиничної довжини,
k
i
то e e - також власний вектор одиничної довжини ( - довільне
k
дійсне число).
Нижче передбачається, що власні значення  ,  ,...,  різні,
1 2 n
так що множина відповідних власних векторів { ,о о ,..., о }
1 2 n
n
лінійно незалежна і, отже, утворює базис простору Е .

7.7 Приведення матриці до діагонального вигляду

Розгледимо матричне співвідношення

Ах  y.
Нехай { ,о о ,..., о } - базис власних векторів, що відповідають
1 2 n
різним власним значенням  ,  ,...,  . Припустимо, що в цьому
1 2 n
базисі
x  ~ ~ ... ~
x о 
x о
x о 
1 1 2 2 n n
і
~ ~ ~
y  y о  y о  ... y о .
1 1 2 2 n n
Тоді співвідношення
Ах у  0

перетвориться до вигляду
~ ~ ~ ~ ~ ~
( x  y ) о ( x  y )о  ...  ( x  y )о  0.
1 1 1 2 2 2 n n n
Оскільки власні вектори лінійно незалежні, то
~ ~
 x  y  0 (k  2 , 1 ,...,n )
k k k .

Якщо матриця A невироджена, тобто якщо det(A )  0, то

161