Page 157 - 2589

( А  E) о  0

у дійсності представляє систему лінійних однорідних
алгебраїчних нерівностей. Ця система має однозначний розв’язок
о при умові, що

det( А E )  0.

Значення о  0 завжди є розв’язком такої системи рівнянь.
Інший розвязок буде не єдиним, тобто нетривіальне рішення о 0

в цьому випадку існує.

Визначимо характеристичний поліном як

n
q )(  det(A   )E  q  q  ...  q 
0 1 n
де q  det(A ) і q  ) 1 (  n .
0 n
Корені характеристичного рівняння

q ( )  0

називаються власними значеннями (характеристичними
числами) матриці A.

З основної теореми алгебри випливає, що характеристичне
рівняння

q  q   ...  q  n  0
0 1 n
має n коренів (деякі з яких можуть збігатися і деякі з яких
можуть бути комплексними). Кожному власному значенню з

набору
{ , ,..., }
1 2 n
відповідає елемент з множини власних векторів

{о ,о ,..., о }
1 2 n
причому рівні власні значення можуть відповідати рівним
власним векторам, тобто власний вектор о є деяким ненульовим
k
розв’язком рівняння
( А  E) о  0
k k
Відмітимо, що ці розв’язки не однозначні; оскільки рівняння
однорідні, помноживши розв’язки на довільний скалярний
множник, знову отримаємо розв’язки.

Приклад 6.11: Розгледимо лінійне перетворення, яке
визначає матрицю

157