Page 159 - 2589

Можна припустити,   1 і    2,тобто власний вектор,
11 21
відповідний значенню    2, рівний
2
 1 
о  .
2  
  2 
Відзначимо, що, хоча ці вектори не ортогональні, проте вони
утворюють базис простору, оскільки є лінійно незалежними.

Розглянемо приклад, в якому використовується комплексний
простір.

Приклад 6.12: Лінійне перетворення, що визначається

дійсною матрицею

 cos  sin  
А    .
  sin  cos  

являє собою поворотом дійсної плоскості довкола
точки 0 на кут  . Його характеристичний поліном рівний

 cos   sin 
q ( )  det     2  2 cos  1.
  sin  cos   

Власні значення, що отримуються з характеристичного

рівняння
 2  2 cos  1  0,
рівні

 i
  cos   isin   e
1
і

i
  cos   i sin   e .
2
У загальному випадку власні значення є спряженими
комплексними числами.

Власні вектори для   cos   sini  знаходимо із
1
співвідношення

 sini  sin    11    0
       .
  sin   sini     21   0 
звідки

  11 i sin    sin   ,0
21

   sin    sini   .0
11
21
Видно що перше рівняння отримується з другого множенням
на i. Задаючись   1 отримуємо   i. Аналогічно для
11 21

159