Page 156 - 2589

комплексні n  1-вимірні гіперплощини, які проходять через
початок координат (їх розмірність над полем дійсних чисел рівна

( 2 n  ) 1 ) і їх довільного перетину.

n
Підпростір M  E називається інваріантним
підпростором відносно перетворення T , якщо для любого

х  M , Тх M
n
Відмітимо, що початок координат і весь простір Е завжди є
інваріантними.

Розглянемо одновимірні інваріантні підпростори
n
n-вимірного простору Е . Наприклад, в комплексному просторі
n
 одновимірний комплексний підпростір визначається
фіксованим комплексним ненульовим вектором о з можливими
множниками  (точніше, множина точок  о, де  пробігає

множину комплексних чисел, є одновимірним підпростором). В
n
дійсному n-вимірному просторі R одновимірний підпростір - це
пряма, яка проходить через початок координат. Якщо  о -
інваріантний підпростір лінійного перетворення T , то в силу

визначення інваріантного підпростору
Т ( ) о   ( ) о

де  - число (можливо комплексне ), яке залежить від  .

Використовуючи матричне представлення перетворення,
отримаємо

A ( ) о   ( ) о ,

або

( А  E) о  0.

Так як  зменшується в однорідному напрямку, величина 

не залежить від  , тому
Ао  о,

або
( А  E) о  0.

Якщо ненульовий вектор о задовольняє цьому відношенню,
то йому задовольняє також вектор, отриманий добутком о на

будь-яке дійсне або комплексне число; відповідно, вектор о

визначає одновимірний інваріантний підпростір перетворення T ,
представленого у базисі { ,e e ,..., e } матрицею А.
1 2 n
Нагадаємо, що рівність

156