Page 132 - 2589

x  (t )  f (x (t ), , 0 ). t (5.46)

Стани рівноваги, згідно визначення (5.40), визначаються як
корені рівняння, отриманого шляхом прирівнювання правої
частини (5.46) до нуля:

f (x (t ), , 0 t )  0. (5.47)

Припустимо, що ця система має п станів рівноваги
x , x , ..., x . Очевидно, що справедливі рівності
1 e e 2 en
f (x , 0 , ) t  , 0 k  , 1 , 2 ..., . n
ek
Розглянемо будь-який з цих станів x . Відхилення від x
ek ek
можна визначити через  (t ) так, що
k
 (t )  x (t ) x .
k ek
Тому


 (t )  ( f  (t ) x , , 0 ) t  ( h  (t ), ). t (5.48)
k k ek k
Відмітимо, що рівняння (5.48) є однорідне диференціальне

рівняння з станом рівноваги на початку координат, тобто  k t ) (  0.
Таким чином, ми показано, що питання стійкості довільного
стану рівноваги теж може бути досліджено за допомогою

приєднаної системи, що має стан рівноваги у початку координат.

Приклад 5.26: Дано диференціальне рівняння стану

3
2
x (t  )   (tx  )  6  (tx  )  11x (t )  . 6
Станами рівноваги є x   1; x   2; x   . 3
1 e e 2 e 3
Зробимо три окремі перетворення:

 (t )  x (t )  ( 1 ),
1
 (t )  x (t )  ( 2 ),
2
 (t )  x (t )  ( 3 ).
3
Після підстановки у (5.48) будуть отримані диференціальні

рівняння розв’язком яких є функції  (t ). Дослідження поведінки
k
 (t ) при збільшення часу дає можливість судити про стійкість
k
стану рівноваги.
Для x   1:
1 e

2
3
 (t ) h ( (t ), t )  (  ) 1  ( 6   ) 1  11 (  ) 1  , 6
1 1 1 1 1 1
або

 (t )   3 1 (t )  6 2 1 (t )  2 (t );
1 1
132