Page 131 - 2589

рівноваги, породженого умовою (  t )  0 однорідного

диференціального рівняння.

Приклад 5.24: Дослідити на стійкість розв’язок системи, що
описується рівнянням стану

2
x  (t )   3 xt 2 (t )   (tu )  , 0(x )  , 1
де вхідний вплив

 дляt t  0
u ) (t  
 0 для t  ,0

згідно (5.32) у околі початкового стану розв'язок буде:

 t  t    2 1 3
2
 t 1,( , ) 0  exp  3  d   x )0(  exp   3 s 2 ds    d  ( 1  e2 t  ).



u  
 t 0  0  0  3
Для цього треба виконати перетворення
 ) (t  x ) (t   ; (t x , t )
u 0 0

і дослідити отримане однорідне рівняння

2
 ) (t  ( h  (t ),t )  ( f  ) (t   t ; ( x ,t ),u (t ),t )  ( f  t ; ( x ,t ),u (t ),t )  3t  (t ).
u 0 0 u 0 0
Відмітимо, що  t ) (  0 є дійсно стан рівноваги для

перетвореного рівняння.

Приклад 5.25: Задана система, що описується рівнянням

x  (t ) e  x (t ) x (t ) u (t ).
0
Розв’язок при 0(x )  x і u 0 буде
0
x
 ; (t x , ) 0  ln(e  ). t
0
u 0
Приєднана вільна система з станом рівноваги у початку
координат має вигляд:


x
 (t )  ( h  (t ), ) t  (e  t )( 1 e   (t ) ).
0

6.7.3 Дослідження на стійкість стану рівноваги

При розгляді стану рівноваги припускатимемо, що вхідна
змінна тотожно рівна нулю, тоді диференціальне рівняння стану
(5.36) набуває вигляду

131