Page 130 - 2589

можна назвати асимптотично стійким. Третя можливість
полягає в тому, що величина  (t ) залишається малою із

збільшенням t, але при цьому не обов'язково наближається до
нуля. Такий розв’язок можна назвати стійким. Аналогічний

підхід можна застосувати і до стійкості стану рівноваги системи.
Фактично ми покажемо, що вивчення стійкості розв’язок може
бути завжди зведено до вивчення стійкості стану рівноваги
приєднаної системи.

6.7.2 Дослідження на стійкість розв’язку рівняння
стану

Дослідження на стійкість розв’язку рівняння стану зводиться
до дослідження поведінки відхилення (t ) з плином часу, при

початковому відхиленні (t ).
0
З виразу (5.42) одержимо

x (t )  (t )  u ; (t x 0 , t 0 ),

а так як x (t ) є розв’язком рівняння (5.36) то справедлива

тотожність
 
 (t )  ; (t x , t )  ( f  (t )  ; (t x , t ), u (t ), ). t
u 0 0 u 0 0

Підставивши вираз для  (t ) з (5.41), можна одержати
диференціальне рівняння:


 (t )  ( f  (t )  u t ; ( x 0 ,t 0 ),u (t ),t )  ( f  u t ; ( x 0 ,t 0 ),u (t ),t ). (5.43)

Оскільки вхідна змінна u (t ) відома і основний розв’язок

 ; (t x , t ) передбачається також відомим, то права частина
u 0 0
виразу (5.43) є функцією тільки аргументів (t і t, що формально
)
можна записати як

( h  (t ),t )  ( f  (t )  t ; ( x ,t ),u (t ),t )  ( f  t ; ( x ,t ),u (t ),t ) (5.44)
u 0 0 u 0 0
Отже, відхилення від відомого розв’язку диференціального

рівняння стану, коли вхідна змінна відома, описуються
однорідним диференціальним рівнянням


 (t )  ( h  (t ), ) t ( t 0 )  0 . (5.45)

Зауважимо, що (  t ) 0 є стан рівноваги, оскільки з виразу
(5.44) маємо

, 0 ( h t )  . 0

Таким чином проблема визначення стійкості розв’язку
системи зведена до проблеми визначення стійкості стану

130