Page 127 - 2589

описує рух системи між моментами часу  і t при нульовому
збудженні, це приводить до поняття перехідної функції стану

 , (t )  , як відображення стану системи в момент часу  , x ( ), у
стан системи в момент часу t, (tx ) тобто

x (t )  , (t )  x ( ), (5.29)

звідки випливає

 t 
 , (t  )  exp a ( ) d  x (t )x 1  ( ). (5.30)

 
 
Слід відмітити, що перехідна функція стану володіє двома

властивостями:
 , (t t )  , 1

  , (t  / ) t  a (t ) , (t  ).

Застосувавши метод варіації змінних можна знайти реакцію
системи на нульовий початковий стан x (t ).
u
t  t 
x (t )   exp a ( )  bd ( )u ( )d .  (5.31)

u  
t 0  
Загальне розв’язок знаходиться як сума розв’язок однорідного
рівняння і часткового розв’язок:
x (t )  x (t )  x (t ),
0 u
або

 t  t  t 
x (t )  exp  a ( )  xd  (t 0 )   exp   a ( )  bd  ( )u ( )d .  (5.32)
t 0   t 0   

Підставивши (tx ) з (5.32) у (5.25,б) можна знайти вираз для

співвідношення вхід – стан – вихід для лінійних систем першого
порядку має вигляд

 t  t  t 
y ) (t  c ) (t exp  ( a  )d  x (t 0 )  c ) (t exp  ( a  )d  ( b  )u ( )d  b t ) ( u (t ). (5.33)
0 t   0 t  

Приклад 5.23: У прикладі 5.5 знайдено рівняння стан для

ланцюга на рис.5.3:
R  t  1
x (t  )   0 x (t )   (t ),
L L
y (t )  x (t ),

127