Page 133 - 2589
P. 133
для x 3:
e 3
3
2
2 (t ) h 2 ( 2 (t ), t ) ( 2 ) 2 ( 6 2 ) 2 11 ( 2 ) 2 , 6
або
2 (t ) 3 2 (t ) 6 2 2 (t ) 2 2 (t );
для x 2:
e 2
3
2
(t ) h ( (t ), t ) ( ) 3 ( 6 ) 3 11 ( ) 3 , 6
3 3 3 3 3 3
або
(t ) 3 (t ) 6 2 (t ) 2 (t ).
3 3 3 3
У кожному випадку є стан рівноваги у початку координат.
На закінчення з'ясуємо значення поняття стійкості стосовно
стаціонарних лінійних систем першого порядку, що описуються
однорідними диференціальними рівняннями стану виду
x (t ) ax (t ).
Початок координат
x t ) ( 0
є станами рівноваги. Крім того, це єдиний стан рівноваги, якщо
a 0. Далі, приєднана однорідна система, стан рівноваги якої
досліджуються, ідентична початковій системі, тобто
(t ) a (t ), (5.49)
або
( h (t ), ) t a (t ).
Розв’язком рівняння (5.49) є
(t ) e (t t 0 ) (t ),
0
отже
(t ) e ( tt 0 ) (t ) e ( tt 0 ) (t . )
0 0
Якщо дійсна частина числа негативна (t ) прагне до нуля
із збільшенням t тобто стан буде асимптотично стійким станом
рівноваги. Якщо дійсна частина числа рівна нулю (t ) (t ) то
0
стан буде стійким. Якщо ж дійсна частина числа додатна то із
збільшенням t величина (t ) може зростати до безмежності,
тобто стан буде нестійким.
133
