Page 129 - 2589

диференціальним рівнянням стану:

x  (t )  f (x (t ), u (t ), ) t , (5.36)

початковим станом

x (t )  x (5.37)
0 0
і вхідним впливом

t
u (t ) при t  . (5.38)
0
Позначимо розв’язок рівняння (5.36) при вказаних вище
умовах через  ; (t x , t ). Очевидно, що справедлива тотожність
u 0 0

 ; (t x , t )  ( f  ; (t x , t ), u (t ), ). t (5.39)
u 0 0 u 0 0
Будь-який стан рівноваги, пов'язаний з рівнянням (5.36),
позначимо через x (t ), тоді згідно визначення стану рівноваги,
e
справедливо:
x  e (t )  f (x e (t ), , 0 t )  . 0 (5.40)

Виникає два питання стосовно стійкості:
 Чи буде розв’язок рівняння (5.36) для вхідної функції

u (t ) і початкового стану (tx )  x стійким при відповідному
0 0
відхиленні від початкового стану (tx 0 ).

 Для нульової вхідного впливу – ( tu ) 0 чи буде стійким
стан рівноваги?

Розглянемо спочатку перше питання. Ми говоримо про
стійкість розв’язку в тому випадку, якщо «незначні» відхилення в
початковому стані приводять до розв’язків , «близьких» до
початкового. Нехай відхилення розв’язку x ) (t від відомого

розв’язок (t ; x , t ) буде (t ) , тобто
u 0 0

 (t )  x (t )  ; (t x , t ). (5.41)
u 0 0

Відхилення початкового стану в момент t буде
0
 (t 0 )  x (t 0 )  u (t 0 ; x 0 , t 0 ), (5.42)
а в подальшому стійкість розв’язку можна встановити по зміні

функції (t ) . Якщо для малих (t 0 ) , тобто для малого відхилення
початкового стану, величина (t стає великою при збільшенні t,
)
розв’язок можна назвати нестійким, оскільки (tx ) розходиться з

 ; (t x , t ). Якщо ж (t ) прагне нуля із збільшенням t, тобто
u 0 0
x ) (t асимтотично наближається до  ; (t x , t ), то розв’язок
u 0 0
129