Page 119 - 2589

використовувати для характеристики поведінки нелінійної
системи, описуваної рівнянням (5.14) в тій області, де значення

2
2
 залишається малим. Питання про малість  як правило
вирішується при дослідженні стійкості.
Приклад 5.16: Проста нелінійна схема першого порядку

складається з нелінійного постійного конденсатора і нелінійного
опору (рис.5.9,а). Диференціальне рівняння, що описує цю
систему, має вигляд

x  (t )   x 2 (t ). (5.19)

Неважко показати, що розв’язком цього рівняння є

x (t )
x ) (t   0 . (5.20)
1 x (t )(t  t )
0 0
(Зауваження. Вироджений розв’язок можливий в тому
випадку, якщо знаменник обертається в нуль.) Лінеаризована
система, відповідна початковій системі, описується рівнянням


 (t )  2x (t 0 )  (t ),
1 x (t )(t  t )
0 0
розв’язок якого має вигляд


 (t )    (t 0 )  (t ).
1 (  x (t )(t  t )) 2
0 0
Нехай x (t ) функція стану, яка відповідає початковій умові
0
x (t ) , і x (t ) - функція стану, яка відповідає початковій умові
0 0 1
x (t ), тоді
1 0
x (t )  x (t )  (t )  ~ (t ), (5.21)
x
1 0 1
де


 (t )  x 1 (t 0 ) x 0 (t 0 )  (t ) (5.22)
1 (  x (t )(t  t )) 2
0 0
при умові, що  x  x  x , залишається малим. Нехай t  0,
1 0 0
x (t )  1. Розглянемо наступні два випадки: x (t )  1 , 1 і
0 0 1 0
x (t )  0 , 2 . Для першого випадку розв’язок, визначається (5.20) і
1 0
має вигляд

1 , 1
x ( t)   ,
1
1 t 1 , 1
а наближений розв’язок, визначається (5.21) і (5.22), і має вигляд

~ (t )  1  1 , 0 .
x
1 2
1 t 1 ( ) t 

119