Page 118 - 2589

Тоді вихідну змінну
y (t )  y (t )  (t )
n
можна знайти за допомогою розв’язку обурених рівнянь

x  (t )   (t )  f (x (t )  (t ), u (t )  (t ), ) t
n n n
і

y (t )  (t )  g (x (t )  (t ), u (t )  (t ), ). t
0 n n
У результаті розкладання в ряд Тейлора можна отримати

x  (t )   (  t )  f (x (t ), u , t )  df (  t )  df (  t )  ( 2 ,  2 )
n n n
dx du
x n , u n x n , u n
і
dg dg 2 2
y (t )  (  t )  g (x (t ), u (t ), t )  (  t )  (  t )  ( ,  ),
n n n
dx du
x , u x , u
n n n n
 ( 2 ,  2 ) залишковий член другого порядку малості відносно 
і . Передбачається, що функції f і g двічі диференційовані по
всіх аргументах, окрім, мабуть, t. Тоді, нехтуючи ( 2 ,  2 ), і

використавши рівності (5.16) і (5.17) можна одержати наступні
лінійні апроксимуючі рівняння:


 (t )  f   (t )  f   (t )
x  u 
x
n ,u n x n ,u n
і
g  g 
 (t )   (t )   (t ).
x  u 
x n ,u n x n ,u n
Ці вирази можна переписати у вигляді

 ) (t  a (t ) ) (t  b (t ) (t ),
(5.18)
 ) (t  c ) (t  ) (t  d ) (t  (t ),

де

f  f 
a (t )  , b (t )  ,
x  u 
x n ,u n x n ,u n

g  g 
c (t )  , d (t )  .
x  u 
x n ,u n x n ,u n
Вирази (5.15) і (5.18) насправді аналогічні. Припущення, що

2
 мало, звичайно справедливо, оскільки  – вхідні (керовані)
2
відхилення. Проте не завжди можна забезпечити малість  .
Лінійну систему, описувану рівнянням (5.15), можна

118