Page 115 - 2589

виразом

 1  t  1 
y( t)  exp  t ( t ) x( t )  exp  t (   u() )  d ,

 0  0 t 0  
 RC
 RC


де вихідна змінна – напруга на конденсаторі, є лінійними щодо
нульового стану і нульової вхідної дії.

Приклад 5.13: Система, описувана співвідношенням вхід –
стан – вихід:
t
2  ( t ) 
)

( tt
y t ) (  e 0 x (t  )  e u ( )d . 

0
t
0
нелінійна щодо нульової вхідної дії.

Система володіє властивістю декомпозиції, якщо вона
задовольняє умові: якщо y – реакція системи на нульову вхідну
0
дію для довільного початкового стану і y – реакція системи на
u
нульовий початковий стан для довільної початкової вхідної дії, то

результуюча реакція на той же початковий стан і ту ж вхідну дію
є y  y .
0 u

Система називається лінійною, якщо вона лінійна
відносно нульового початкового стану, лінійна відносно вхідної
дії і задовольняє властивості декомпозиції.

Приклад 5.14: Системи, розглянуті в прикладах 5.12 і 5.13,
задовольняють властивості декомпозиції, але тільки перша з них
лінійна.

Розглянуте вище визначення лінійності доцільно узагальнити
на співвідношення вхід – вихід: якщо y є реакція на u , а y –
1 u 1 u 2
реакція на u , то система лінійна відносно співвідношення вхід –
2
вихід, якщо y  y  – реакція на u   u для довільних
1 u u 2 1 2
сталих  і  і довільних вхідних дій u і u . Лінійність щодо
1 2
співвідношення вхід – вихід на практиці можна зробити
співпадаючою з лінійністю щодо нульового стану. Це
узагальнення дозволяє розповсюдити поняття лінійності на

системи, які описуються лінійними диференціальними
рівняннями.

115