Page 86 - 2577

M
G (N )    (n )  Z i (n i ) .
*
n  (NS ,M ) i 1
Таким чином, для відкритих та замкнутих експоненціальних мереж рішення має
мультиплікативну форму, що допускає декомпозицію мережі на ізольовані вузли.
Отже, процес функціонування мережі черг абстрагується в багомовимірний
випадковий процес заданий на деякому ймовірнісному просторі. Аналізуючи можливі
переходи цього процесу за проміжок час dt при граничному переході dt  0 отримуємо
систему прямих диференціальних рівнянь Колмогорова, для якої в стаціонарному режимі
закритої мережі черг завжди існує розв’язок. Для закритих мереж, що не залежать від
навантаження застосовується техніка складання рівнянь глобального балансу відносно
ймовірностей вектора станів мережі. На фізичному рівні рівняння глобального балансу
відображує той факт, що швидкість переходу мережі черг зі стану дорівнює швидкості
переходу мережі в цей стан. Процеси переходу замкнутих мереж, що залежать від
навантаження описуються рівняннями локального балансу, які є достатньою але не
необхідною умовою глобального балансу. Рішення рівнянь двох вище вказаних типів в
мультиплікативній формі дозволяє знаходити різні характеристики мережі черг як функції
нормалізуючої константи.

5.4 Показники якості функціонування замкнутих однорідних експоненціальних
мереж черг
На основі розподілу ймовірностей станів мережі черг можна розрахувати ряд її
характеристик. Методи розрахунку для мереж, які не залежать від навантаження, та мереж,
які залежать від навантаження, є аналогічними.
Маргінальний розподіл числа повідомлень в M -му вузлі мережі, яка залежить від
навантаження представляє собою розподіл імовірності наявності в M -му вузлі рівно n
повідомлень як функції числа n повідомлень, тобто:
M Z ( n ) M Z ( n )
P ( n, N)    i i  Z ( n)   i i , n 1 , N, (5.16)
M G ( N) M G ( N)
n S( N, M), n M  n i 1 M n S( N n, M )1 i 1 M
де:
e n
Z ( N)  n M ,
M
  M ( j)
 j 1
Z (n ) ― представляє ймовірність того, що граничний вузол M містить рівно n
M
повідомлень (у черзі та на обслуговуванні). Із врахуванням виразу (5.13) для нормалізуючої
константи маємо:
G (N  ) n
P (n ,M )  Z (n ) M  1 . (5.17)
M M
G M (N )
Отже для мережі, що залежить від навантаження маргінальний розподіл за рівнянням
(5.17) можна визначити тільки для граничного центру M . Для визначення маргінального
розподілу відмінного від M центру слід провести перенумерацію центрів обслуговування
мережі так, щоб цільовий центр став граничним.
Для мережі, яка не залежить від навантаження з однолінійними центрами справедливе
співвідношення:  ( n )  , A  , 1 i 1 , M . Ймовірність того, що кількість повідомлень в i -
i
M
M
му вузлі i 1 , M більша чи дорівнює n , має вигляд:

83