Page 82 - 2577

У випадку відкритих мереж, окрім залежності інтенсивності  i (n j ) обслуговування в
центрах від числа запитів в мережі, розглядається залежність інтенсивності (N ) вхідного
потоку від числа N запитів в мережі, яка може приймати вигляд довільної функції.
Таким чином, найпростішим випадком математичної моделі мережі черг є модель, для
якої вхідний потік є пуасонівським, а тривалості обслуговування запитів в центрах
розподілені за експоненціальним законом. Такі мережі називаються локально-
збалансованими, а їх стаціонарні ймовірності станів мають мультиплікативну форму. За
наявністю вхідного потоку запитів мережі поділяються на відкриті та замкнені. Для
визначення потоків запитів, що циркулюють в мережі, вводяться коефіцієнти передачі
e , i 1 , M .
i

5.3 Стаціонарний розподіл ймовірностей станів мережі черг

Стаціонарний розподіл ймовірностей станів замкнутої мережі черг, яка не
залежить від навантаження. Для аналізу стаціонарного розподілу ймовірностей станів
мереж цього класу розглядається методика складання рівняння глобального балансу.
Нехай задано однорідну замкнуту мережу черг з багатолінійними центрами,
дисципліною обслуговування FCFS (First Come First Served), в якій циркулює N запитів
відповідно до матриці маршрутів P  || P ij ||.

Тривалість обслуговування запиту в пристрої i -го вузла розподілена за
експоненціальним законом з параметром  i , i 1 , M , так, що загальна інтенсивність
обслуговування будь-якого вузла визначається виразом (5.3)
Нехай N ) (t багатовимірний випадковий процес:

N ) (t  {n 1 (t ),n 2 (t ),...,n M (t )}
де n R (t ) - число повідомлень, які знаходяться в R -му вузліі (в черзі або на
обслуговуванні) в момент Rt,  , 1 M .
Нехай P (n ) імовірність того, що в момент часу t мережа знаходиться в стані
n  {n 1 ,n 2 ,...,n M }:

P (n )  P {n (t ) n ,n (t ) n ,...,n (t ) n }
1 1 2 2 M M
Нехай S (N ,M ) множина M -вимірних векторів з невід’ємними цілочисельними
координатами:
M
S (N ,M )  {n ;n  , 0  n  N }
i i
i 1
Випадковий процес N ) (t , визначений у просторі станів (NS ,M ) , є марківським, так
як тривалості обслуговування в вузлах мережі розподілені за експоненціальним законом.
Аналізуючи можливі переходи цього процесу за проміжок часу dt і переходячи до границі
при dt  0 отримуємо таку систему прямих диференціальних рівнянь Колмогорова:
M M M
dP( n)
 (  (  n ) ( n ) R ) P( n)   (  n ) i n ( i  )1 i P iR P( n 1 R  )1 (5.4)
R
i
R
R
dt
R 1  i 1 R 1
де 1 - вектор, i -та координата якого рівна 1, а всі решта – нулю; функція
i
 (n )  min{n , A } визначає число повідомлень, що знаходяться на обслуговуванні в R -му
R R R R
центрі R 1 , M , коли загальне число повідомлень в ньому дорівнює n ; (n )  0 при n  0
R i i
і (n )  1 при n  0.
i i
79