Page 83 - 2577

Рішення системи (5.4) в стаціонарному режимі для замкнутої мережі черг завжди
існує. Прирівнюючи до нуля похідні в лівій частині системи рівнянь для ймовірностей
стаціонарного розподілу марківського процесу N ) (t з врахуванням тотожності

 (n ) (n )  (n ) отримуємо таку систему лінійних рівнянь:
R R R R R
M M M
 ( n ) P( n)   (  n ) n (  )1 P P( n 1  ),1 n  NS( , M) (5.5)
 R R R R i i i iR R i
R 1  i 1 R 1
Фізична інтерпретація отриманої системи лінійних рівнянь має такий зміст: ліва
частина являє собою швидкість переходів із стану n , а права – швидкість переходів у цей
стан. Рівняння (5.5) називають рівнянням глобального балансу.
Для рішення системи рівнянь (5.5) введемо таку функцію:
n ,! n R  A R 

 R
 ( n )   
R R n  A
A ! A R R R n , R  A R 

 R
яку можна представити також рекурсивно:
 ) 0 (  , 1
R

 ( n )  ( n ) n (  1 ), n  2 , 1 ,..., N
R R R R R R R
Здійснимо заміну змінних в (5.8):
M
P (n )    i  1 (n i )Q (n ) (5.6)
i 1
Після підстановки (5.6) в (5.5) отримаємо нову систему рівнянь відносно (nQ ) :
M M M
  R ( n ) R Q( n)    R ( n ) i P iR Q( n 1 R  ),1 i n  S( N, M ) (5.7)
R
R
R 1  i 1 R 1
Представимо (nQ ) у вигляді M незалежних параметрів x :
i
M
x
Q( n)   i const (5.8)
 i 1
Підставимо (5.8) в (5.7), отримаємо:
M M x
  R (n R { )  R    i P iR ( i } )  0 (5.9)

R  1  i 1 x R
З метою подальшого спрощення системи рівнянь (5.9) припустимо, що всі N запитів
знаходяться в j -му вузлі j 1 , M , і відповідно в решті вузлів повідомлення відсутні.
Враховуючи, що функція  R (n R ) в цьому випадку за визначенням дорівнює нулю для всіх
R  j , отримуємо:
M
 x   ( x ) P
R R i i iR
 i 1
або, вводячи позначення e   x :
i i i
M
R 
e  e i P , R 1 , M
iR
i 1
Отже, невідомі параметри x визначаються із системи лінійних рівнянь (5.2), рішення
R
якої в силу властивостей маршрутної матриці P єдине з точністю до мультиплікативної
константи.
Таким чином, стаціонарний розподіл ймовірностей станів замкнутої однорідної
експоненціальної мережі черг має мультиплікативну форму:

80