Page 38 - 256_

Таблиця 2.1 – Зображення простих функцій часу
Назва функції x(t) X(p)
Дельта-функція   t 1
Ступінчаста функція a1  t a

p

Степенева функція T n  t 1 ! n

p n 1 

Експонента  t  1
e
 t 1

p  
Синусоїда sin t1  t 
p 2   2
Косинусоїда cos t1  t p

p 2  

Основні властивості перетворення Лапласа показані в
таблиці 2.2. Кожну з цих властивостей використовують при
аналізі автоматичних систем операційним методом.
Найбільш важливими властивостями перетворення
Лапласа є властивості, які формулюються, зазвичай, у вигляді
правил: при нульових початкових умовах диференціювання
оригіналу  tx за змінною t відповідає множенню зображення
X  p на комплексну змінну р, а інтегрування оригіналу –
діленню  pX на р. Так, на цих двох властивостях оснований
операційний метод розв’язку диференціальних рівнянь. Метод
полягає в наступному. Вихідне диференціальне (або
інтегродиференціальне) рівняння замінюють на алгебраїчне
рівняння відносно зображення  pY . Отже,  ty замінюють на
Y  p (цю процедуру називають алгебраїзацією
диференціального рівняння), потім, розв’язуючи алгебраїчне
рівняння при заданому  pX , знаходять зображення  pY і,
накінець, за зображенням  pY визначають функцію  ty .
Зворотний перехід від зображення до оригіналів в більшості

33