Page 34 - 256_

Перехідна функція  th , як і будь-який розв’язок
неоднорідного диференціального рівняння вигляду (2.1), має
h   t
складові: вимушену  th і вільну віл . Вимушена складова
в
перехідного процесу, є , як відомо, власним розв’язком
вихідного рівняння. При ступінчастій дії вимушена складова
рівна встановленому значенню вихідної величини, котре може
бути визначене безпосередньо з диференціального рівняння
(при t  )
 th  y   b a . (2.22)
в m n
h   t
Вільна складова віл може бути знайдена як розв’язок
відповідного диференційного рівняння в наступному вигляді:
n
h   t  C e t k  , (2.23)
віл k
k 1 
де  – корені характеристичного рівняння; C – постійні
k k
інтегрування, котрі залежать від початкових умов.
Характеристичне рівняння, яке відповідає
диференціальному рівнянню, являє собою, як відомо,
алгебраїчне рівняння, степінь і коефіцієнти якого співпадають з
порядком і коефіцієнтами лівої частини цього
диференціального рівняння. Для диференціального рівняння,
записаного у формі (2.1), характеристичне рівняння має вигляд
a  n  a  n 1   ... a  0 . (2.24)
0 1 n
Структура характеристичного рівняння (2.24) співпадає з
структурою лівої частини диференціального рівняння,
записаного в символічній формі (2.3) і з структурою власного
(характеристичного) оператора D(p) (2.4). Тому при записі
характеристичного рівняння часто замість символу , котрий
означає невідому заміну алгебраїчного рівняння,
використовують символ р. Але при цьому р означає вже не
операцію диференціювання, а деяке комплексне число, яке є
розв’язком (коренем) характеристичного рівняння.

29