Page 373 - 256_

Крім того врахуємо значення  , яке визначається
співвідношенням (12.44). В результаті отримуємо
d ~ 1 T T dP( t)
  P( t)( A x  B R ( B P( t) x  S x))  x (12.45)
dt dt

Тепер в праву частину рівняння (12.43) замість u і 
підставимо їх значення, що визначаються рівняннями (12.41) і
(12.44), що приводить до такого результату :
d ~ 1
 Q x  S( R ( B T P( t) x  S T x)  A T P( t) x (12.46)
dt
В рівняннях (12.45) і (12.46) рівні ліві частини рівнянь,
а це означає, що рівними будуть і їх праві частини. Тобто
~ dP( t)
1 
 P( t)( A x  B R ( B T P( t) x  S T x)  x 
dt
~ 1 T T T
 Q x  S R ( B P( t) x  S x)  A P( t) x
Після нескладних алгебраїчних перетворень отримаємо
 dP (t ) ~ 1 T ~ ~ T ~ 
  P t ) ( B R B P (t )  P (t )  AA P t ) (  Q )  x  0
 dt 
Для того, щоб це рівняння було справедливим для будь-якого
значення x необхідно перетворення в нуль матричного
множника при x .
Таким чином, одержуємо рівняння
dP ) (t ~ 1 T ~ ~ T ~
 P (t ) RB B P (t )  P t ) ( A  A P (t )  Q  0
dt (12.46)
P (t )  0
f
~ ~  ~ ~ 
T
T
де A  A  B R 1 S , Q  Q  S R 1 S
Рівняння (12.46) носить назву матричного рівняння Рік
каті.
Отже, оптимальний закон керування зі зворотнім
зв’язком за станом об’єкта, або просто оптимальний
регулятор, задається виразом
* ~ 1 T T
u   R B ( P( t)  S x ) , (12.47)

361