Page 9 - 203_

ЛЕКЦІЯ 1. Означення та властивості невизначеного інтеграла 9

dx 1 x
 x  a 2 a a
10.  arctg  C .
2
dx x
 2 2
11. arcsin  C .
a  x a
Те, що похідними функцій, що знаходяться в правих
частинах цих формул, є відповідні підінтегральні функції,
перевіряється безпосереднім диференціюванням.
З допомогою інтегралів 1-11, які називаються
табличними інтегралами, а також властивостей
невизначеного інтеграла можна виразити інтеграли і від
більш складних елементарних функцій також через
елементарні функції.
Приклад 3.
 2 1 4  2
  cos5 x  2  3 x  x  x 1   dx  5  cos xdx  2  dx  3  x dx 
2

dx dx 3
  x  4  x 1  sin5 x  2 x  x  ln x  4 arctgx  C
2

Якщо первісна деякої елементарної функції f (x ) є

елементарною функцією, то кажуть, що інтеграл f ( x) dx
виражається через елементарні функції або, що цей
інтеграл обчислюється. Зауважимо, що якщо операція
диференціювання елементарних функцій знову приводить
до елементарних функцій , то операція інтегрування вже
може привести до неелементарних функцій, тобто функцій,
які не виражаються через скінченне число арифметичних
операцій і суперпозицій елементарних функцій.
Наприклад, доведено що наступні інтеграли не
інтегруються в елементарних функціях :