Page 12 - 203_

12

Інші приклади на інтегрування з допомогою заміни
змінної будуть розглядатися в наступних лекціях.

1.5. Інтегрування частинами.
Теорема 3. Нехай функції  xu і  xv визначені та
диференційовні на деякому проміжку X і нехай функція
u  x  xv має первісну на цьому проміжку. Тоді на проміжку
X функція  xu v  x також має первісну і справедлива
формула:
 u    dxxvx   u    xvx   v    dxxux  (1.2)

Доведення. З рівності

u    xvx  u     uxvx     xvx 
випливає, що

u     uxvx      xvx  u    xvx ,

Первісною функції u    xvx на проміжку X є функція
u  x  xv . Функція  xu v  x має первісну на X за умовою
теореми. Отже, і функція  xu v  x має первісну на
проміжку X . Інтегруючи останню рівність, одержимо
формулу (1.2). □
Формула (1.2) називається формулою інтегрування
частинами у невизначеному інтегралі.
Оскільки  dxxv  dv ,  dxxu  du , то формулу (1.2)
можна записати у вигляді
 udv  uv  vdu



Ця формула позволяє звести обчислення udv до

обчислення інтеграла vdu , який може виявитися