Page 5 - 203_

ЛЕКЦІЯ 1. Означення та властивості невизначеного інтеграла 5

функції   xf , тобто  xF  f  x , то функція   CxF  , де
C – довільна стала, також є первісною функції  xf ,

оскільки   xF   C  f  x для будь-якого числа C .
Покажемо, що множина функцій   xF  C , де  xF ─
деяка первісна функції f   x , а C – довільна стала,
вичерпує всі первісні функції   xf .
Лема 1. Функція, похідна якої на деякому проміжку X
дорівнює нулю, стала на цьому проміжку.
Доведення. Нехай у всіх точках проміжку X :
 f   0x . Для будь-яких двох точок x , x  X за теоремою
1
2
*
Лагранжа одержимо f   fx   x f    xc   x ,
2 1 2 1
x  c  x .
1 2
Оскільки   cf  0 , то  xf  f  x , тобто   Cxf  , де
2 1
C – деяке число. □
Теорема 1. Якщо  xF ─ первісна функції  xf на
деякому проміжку X , то будь-яку іншу первісну функції
f  x на цьому ж проміжку можна представити у вигляді
F   Cx  , де C – довільна стала.
Доведення. Нехай  x ─ будь-яка інша первісна
функції  xf на проміжку X , тобто  x  f  x . Тоді для
будь-якого x X

   Fx   x    Fx     fx   fx   0x ,
а за лемою 1 це означає , що   Fx    Cx  , де C – деяке
число. Отже, Ф( х ) F( х ) С □

*
Лагранж Жозеф Луї (1736 - 1813) – французький математик.